Квиташвили женат на внучке председателе правительства Грузинской Демократической Республики Ноя Жордании. Сам Александр родился в семье, связанной с медициной: его отец был директором Национального центра терапии, мать – главным врачом в Центре неотложной кардиологии.
Александр родился 15 ноября 1970 года в Тбилиси (Грузия), где в 1992 году окончил Тбилисский университет (факультет истории). Кроме того, он учился в Школе государственной службы им. Роберта Вагнера в Нью-Йоркском университете. В 1993 году получил степень магистра в сфере госуправления. Квиташвили издал несколько аналитических работ по реформе сферы здравоохранения, анализа соцзащиты.
После этого Квиташвили начал работу в крупном медицинском центре в Атланте.
Вернувшись на родину, продолжает трудовую деятельность в грузинском представительстве программы развития ООН, занимая должность офицера администрации и финансов.
С 1995 по 1997 работает заместителем начальника грузинской миссии Комитета помощи объединенной методистской церкви, а также и.о. руководителя миссии.
Далее становится президентом грузинской неправительственной организации «международный фонд «Курацио». Фонд занимается вопросами менеджмента в здравоохранении, а также вопросами соцзащиты и образования.
В 2002 году Александр становится национальным эксперт-координаторомПрограммы развития ООН в области здравоохранения и социальных проблем, а также является консультантом в разных международных организациях Азербайджана, Украины, Литвы, Армении, Сербии.
До 2003 года работает в Нью-Йорке консультантом Института трансатлантического партнерства против СПИДа.
С 2008 по 2010 год занимал кресло министра здравоохранения Грузии, в 2010 ушел в отставку и стал ректором Тбилисского государственного университета.
В 2014 году Сандро Квиташвили вошел в группу из двенадцати экспертов, отобранных в украинском министерстве здравоохранения для разработки новой реформы медицины 2015 – 2025 г. Александра, по квоте «Блока Петра Порошенко», избрали новым министром здравоохранения. Перед назначением он получил украинское гражданство.
В день его назначения украинский премьер Арсений Яценюк отметил, что в Грузии Квиташвили удалось провести радикальные реформы во вверенной ему области, потому он и призван провести реформы в министерстве, которое традиционно считается одним из наиболее коррумпированных.
